Vecteurs et repères · Learning Physics

« Avancez de cinq mètres » ne dit pas où aller. Une flèche apporte l’information manquante : une direction et un sens. Dessinons un trajet vu du dessus pour comprendre ce qu’un vecteur ajoute à un nombre. Prévoyez 15–20 minutes de lecture et environ 35 minutes d’exercices et de dessins.

1. Un trajet en deux étapes

Vous partez d’un point $O$ , marchez de 3 m vers l’est, puis de 4 m vers le nord. Avant de calculer, tracez votre trajet. Votre distance à vol d’oiseau depuis $O$ est-elle égale aux 7 m parcourus ?

Plan à échelle identique sur les deux axes : le trajet va de O à A sur 3 mètres vers l'est, puis de A à B sur 4 mètres vers le nord. La flèche directe de O à B est le déplacement résultant, de longueur 5 mètres.

Le chemin mesure $3+4=7$ m. Le déplacement relie seulement la position initiale à la position finale : sa norme, c’est-à-dire sa longueur, vaut ici 5 m par Pythagore. Une autre promenade pourrait aboutir au même point après 20 m : même déplacement, autre distance parcourue. Pour les conventions scalaires et vecteurs, voir MIT OCW, Vectors vs. Scalars.

2. Choisir un repère pour calculer

Un repère spatial fixe une origine, des axes et une unité. Nous choisissons l’origine $O$ , l’axe $x$ vers l’est et l’axe $y$ vers le nord, en mètres. Les axes sont perpendiculaires et utilisent la même échelle : notre repère est orthonormé.

Le point $B$ a les coordonnées $(3,4)$ m. Le vecteur déplacement s’écrit :

\Delta\vec r=(3\,\mathrm m,4\,\mathrm m).

La flèche sur $r$ indique un vecteur ; $\Delta$ signifie « variation ». Les deux nombres sont ses composantes dans nos axes. Une composante négative indique le sens opposé à l’axe : $(-2,0)$ m décrit 2 m vers l’ouest.

Le référentiel précise en plus par rapport à quoi le mouvement est décrit, ici le sol, et comment on repère le temps. Déplacer l’origine d’un dessin et monter dans un train en mouvement sont deux opérations différentes.

3. Additionner deux déplacements

Appelons $\vec u=(3,0)$ m la première étape et $\vec w=(0,4)$ m la seconde. En plaçant la deuxième flèche à l’extrémité de la première, on obtient :

\Delta\vec r=\vec u+\vec w=(3+0,0+4)\,\mathrm m=(3,4)\,\mathrm m.

On additionne les composantes portant sur le même axe. Géométriquement, la flèche résultante va du départ de la première étape à la fin de la seconde. La flèche diagonale n’affirme pas que vous avez emprunté la diagonale.

Si vous revenez ensuite de $B$ à $O$ en ligne droite, ce troisième déplacement est $(-3,-4)$ m. La somme des déplacements devient $(0,0)$ m, alors que la longueur totale parcourue est $3+4+5=12$ m.

Passerelle maths : norme et vecteurs unitaires

Dans notre repère orthonormé, Pythagore donne :

\|\Delta\vec r\|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} =\sqrt{(3\,\mathrm m)^2+(4\,\mathrm m)^2}=5\,\mathrm m.

Les vecteurs unitaires $\vec e_x$ et $\vec e_y$ ont une norme égale à un et n’ont pas d’unité physique. Ils donnent les directions de la base : $\Delta\vec r=(3\,\mathrm m)\vec e_x+(4\,\mathrm m)\vec e_y$ . Ce sont les coefficients qui portent l’unité mètre.

La formule avec la somme des carrés suppose des axes orthonormés. Elle ne s’applique pas telle quelle à des composantes dans des axes obliques.

4. Changer le dessin, conserver le déplacement

Plaçons une nouvelle origine $O'$ au point de coordonnées $(1,1)$ m dans l’ancien repère, en gardant les mêmes directions d’axes. Les nouvelles positions sont $O=(-1,-1)$ m et $B=(2,3)$ m. La différence vaut toujours :

\Delta\vec r=(2-(-1),3-(-1))\,\mathrm m=(3,4)\,\mathrm m.

Un déplacement ne dépend donc pas de ce décalage fixe de l’origine.

Tournons maintenant les axes : le nouvel axe $x'$ pointe vers le nord et $y'$ vers l’ouest. Le déplacement initial a les composantes $(4,-3)$ m dans ces nouveaux axes. Sa norme est toujours $\sqrt{4^2+(-3)^2}=5$ m. Les composantes dépendent des axes ; la flèche physique et sa longueur ne changent pas quand on tourne seulement le dessin.

Essayez sur papier : gardez les points $O$ et $B$ fixes, puis dessinez les nouveaux axes. Une rotation d’axes n’a déplacé aucun marcheur.

5. Limites de cette représentation

Nous utilisons un plan euclidien pour une promenade courte, à l’échelle d’une pièce ou d’une cour. Nous ne décrivons ni le relief ni la courbure terrestre sur un long voyage. Les flèches sont des objets de représentation, pas des forces qui poussent le marcheur. Les forces seront d’autres grandeurs vectorielles, avec d’autres unités et une autre signification physique.

Cette leçon introduit des définitions et des conséquences de la géométrie choisie. Elle n’établit aucune loi sur les causes du mouvement, ni sur les changements de référentiel relativistes.

6. Exercices

Une personne fait un tour complet d’une cour et revient au départ. Son déplacement est-il nul ? Sa distance parcourue est-elle nulle ?
Additionnez $(2,-1)$ m et $(-5,3)$ m. Dessinez le résultat et calculez sa norme.
Un trajet part de $A=(2,1)$ m et arrive en $B=(5,5)$ m. Calculez le déplacement. Que devient-il si l’origine est déplacée de 10 m vers l’est ?
Une boussole indique le nord. Dans nos axes tournés ( $x'$ au nord, $y'$ à l’ouest), quelles composantes décrivent 2 m vers l’est ?

Un coup de pouce : les indices

Reliez directement la position initiale et la position finale.
Additionnez axe par axe, puis utilisez la somme des carrés pour la norme.
Soustrayez les coordonnées du départ à celles de l’arrivée.
L’est est le sens opposé au nouvel axe $y'$ .

Voir les corrigés expliqués

Le déplacement est le vecteur nul ; la distance parcourue est le périmètre du trajet, strictement positif si la personne a marché.
$(-3,2)$ m, donc 3 m vers l’ouest et 2 m vers le nord. La norme vaut $\sqrt{13}$ m, soit environ 3,61 m.
$(5-2,5-1)=(3,4)$ m. Avec la nouvelle origine, les positions deviennent $A'=(-8,1)$ m et $B'=(-5,5)$ m. Leur différence reste $(3,4)$ m.
$(0,-2)$ m. La composante négative ne signifie pas une longueur négative : elle donne le sens. La norme du déplacement reste 2 m.

7. Rappel différé et suite

Dans une semaine, dessinez un trajet de distance non nulle dont le déplacement est nul. Puis expliquez pourquoi « 5 mètres » ne donne pas un vecteur complet.

Poursuivez avec Position et vitesse : nous suivrons la position d’un chariot au fil du temps sur un seul axe.

Les exemples, la figure et les exercices sont originaux. La référence MIT est consultée le 18 septembre 2026 ; relecture scientifique indépendante à réaliser.