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LEÇON 03 / LES FONDATIONS

Position et vitesse

Donner un sens physique à la dérivée, en suivant un chariot sur un rail.

50 min avec les exercices Lecture, illustrations & exercicesVersion pilote
VOTRE CAP

À la fin de cette leçon

  • Distinguer une position et une vitesse.
  • Calculer une vitesse moyenne avec ses unités.
  • Expliquer le lien entre tangente et vitesse instantanée.

Une équation peut raconter un mouvement. Nous allons suivre un chariot, dessiner ce qui change, puis comprendre ce que signifie sa vitesse.

1. Partir d’un mouvement

Imaginez un petit chariot qui avance sur un rail droit. On choisit un point d’origine sur le rail, un sens positif vers la droite et une horloge. Sa position xx est une distance signée par rapport à l’origine, exprimée en mètres.

Supposons qu’un modèle décrive les positions suivantes :

Temps tt (s)01234
Position xx (m)014916

Avant de calculer : le chariot parcourt-il la même distance pendant chaque seconde ? S’il va plus vite, comment cela doit-il apparaître sur un graphique ?

2. Voir le lien entre mouvement et graphique

Graphe position-temps : la position croît de 0 à 16 mètres entre 0 et 4 secondes. La tangente à 2 secondes a une pente de 4 mètres par seconde ; la sécante entre 2 et 3 secondes a une pente de 5 mètres par seconde.

Les distances parcourues pendant les secondes successives sont 1 m, 3 m, 5 m puis 7 m. Le déplacement par seconde augmente. La courbe devient plus pentue.

Attention à ce que représente l’image : le chariot reste sur un rail droit. La courbe dessinée est sa position en fonction du temps, pas la forme du rail. Le graphique a un axe de temps et un axe de position.

3. Calculer sur un intervalle : la vitesse moyenne

Entre deux instants t1t_1 et t2t_2, on définit la vitesse moyenne signée :

vmoy=x(t2)−x(t1)t2−t1.v_{\mathrm{moy}}=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}.

Le numérateur est le déplacement ; le dénominateur est la durée. Les unités donnent donc des mètres par seconde. Entre 2 s et 3 s :

vmoy=9 m−4 m3 s−2 s=5 m/s.v_{\mathrm{moy}}=\frac{9\,\mathrm m-4\,\mathrm m}{3\,\mathrm s-2\,\mathrm s} =5\,\mathrm{m/s}.

C’est la pente de la droite reliant les deux points, appelée sécante. Une moyenne décrit tout un intervalle : elle n’affirme pas que la vitesse vaut 5 m/s à chacun des instants de cet intervalle.

4. Réduire l’intervalle : la vitesse instantanée

Lecture intuitive : en rapprochant les deux instants, la droite entre les deux points approche une direction locale, la tangente. Sa pente est la vitesse à cet instant : ici 4 m/s à 2 s. Vous pouvez poursuivre à la section 5 avec cette idée, puis revenir au calcul lorsque vous le souhaitez.

Aller plus loin : construire la dérivée pas à pas

Le calcul suivant explique ce passage et introduit la notation de dérivée. Un rappel sur le développement d’un carré est disponible dans les repères maths.

Le modèle qui produit notre tableau est

x(t)=αt2,α=1 m/s2.x(t)=\alpha t^2,\qquad \alpha=1\,\mathrm{m/s^2}.

Le coefficient α\alpha porte des unités : multiplier t2t^2 par un nombre sans dimension ne suffirait pas à produire une longueur. Ce modèle est ici supposé ; un tableau de cinq positions ne suffit pas à prouver qu’il est exact entre elles.

Sur un petit intervalle Δt\Delta t commençant à tt, la vitesse moyenne vaut :

x(t+Δt)−x(t)Δt=α[(t+Δt)2−t2]Δt=2αt+αΔt.\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t} =\frac{\alpha[(t+\Delta t)^2-t^2]}{\Delta t} =2\alpha t+\alpha\Delta t.

À t=2t=2 s, on obtient 5 m/s pour Δt=1\Delta t=1 s, puis 4,1 m/s pour Δt=0,1\Delta t=0,1 s, puis 4,01 m/s pour Δt=0,01\Delta t=0,01 s.

Ces moyennes se rapprochent de 4 m/s. La vitesse instantanée est la limite des vitesses moyennes quand l’intervalle tend vers zéro, si cette limite existe :

v(t)=lim⁡Δt→0x(t+Δt)−x(t)Δt=dxdt=2αt.v(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t} =\frac{dx}{dt}=2\alpha t.

La notation dx/dtdx/dt désigne cette dérivée ; on ne remplace pas directement Δt\Delta t par zéro dans un quotient qui deviendrait 0/00/0. Sur le graphique, la sécante tend vers la tangente. À 2 s, la position est 4 m et la vitesse 4 m/s : mêmes valeurs numériques dans cet exemple, grandeurs différentes.

5. Comprendre ce que le modèle ne dit pas

Nous avons décrit un mouvement. Nous n’avons pas encore expliqué quelles forces le produisent. La dérivée suivante donne une accélération constante a=dv/dt=2α=2 m/s2a=dv/dt=2\alpha=2\,\mathrm{m/s^2} ; l’étude des forces viendra dans un autre cours.

Le modèle suppose un mouvement rectiligne et une position lisse dans le référentiel choisi. Il s’applique ici à des vitesses usuelles, très petites devant celle de la lumière. Son extrapolation à des durées arbitrairement longues n’est pas justifiée physiquement.

Une mesure réelle a une résolution finie. Raccourcir l’intervalle peut amplifier l’effet des erreurs sur les positions : calculer une dérivée sur des mesures bruitées demande un choix de méthode. La limite mathématique est une propriété du modèle ; une expérience l’estime avec une incertitude.

6. Exercices

  1. Calculer la vitesse moyenne entre 1 s et 2 s, puis la vitesse à 1 s.
  2. On décrit le même mouvement depuis une origine décalée : x′(t)=x(t)−10 mx'(t)=x(t)-10\,\mathrm m, avec la même horloge et des axes parallèles. Les positions changent-elles ? Les vitesses changent-elles ? Justifier.
  3. Un autre chariot suit y(t)=8 m−(2 m/s)ty(t)=8\,\mathrm m-(2\,\mathrm{m/s})t. Trouver sa vitesse. Que signifie son signe ?
  4. Une caméra fournit des positions arrondies au centimètre. Pourquoi des intervalles toujours plus courts ne donnent-ils pas automatiquement une meilleure estimation de vitesse ?
Un coup de pouce : les indices
  1. Comparer « entre deux instants » et « à un instant ».
  2. Faire la soustraction des deux positions décalées avant de diviser.
  3. Dessiner un axe positif : quel déplacement produit une seconde écoulée ?
  4. Comparer l’incertitude sur le déplacement à la durée utilisée au dénominateur.
Voir les corrigés expliqués
  1. (4−1)/(2−1)=3(4-1)/(2-1)=3 m/s ; à 1 s, v=2αt=2v=2\alpha t=2 m/s. La vitesse augmente : la moyenne sur la seconde suivante dépasse la valeur initiale.
  2. Chaque position perd 10 m. Dans x′(t2)−x′(t1)x'(t_2)-x'(t_1), les constantes s’annulent : les vitesses moyennes et instantanées sont inchangées. Il s’agit d’un décalage fixe d’origine, pas d’un observateur en mouvement.
  3. vy=−2v_y=-2 m/s : le chariot avance vers les coordonnées décroissantes. Sa rapidité, c’est-à-dire la valeur absolue de cette vitesse en 1D, est 2 m/s.
  4. L’erreur absolue sur les positions ne disparaît pas avec la durée. Diviser une erreur de déplacement comparable par une durée plus petite augmente son effet sur la vitesse estimée.

7. À retenir et à réutiliser

Une dérivée relie une courbe à une variation locale mesurable. Dans une semaine, expliquez sans relire pourquoi une courbe position-temps peut être courbe alors que le rail reste droit, puis inventez un exemple où position et vitesse ont des signes différents.

Pour continuer

Les exemples, la figure et les exercices sont originaux. Pour étendre les bases : MIT OpenCourseWare — Classical Mechanics.

Dans le laboratoire de cette leçon, changez l’instant d’observation et l’intervalle de mesure. Essayez de prévoir les valeurs avant de les afficher.

02 / APPRENDRE EN MANIPULANT

Le mouvement, entre vos mains

Avant de toucher aux curseurs : si vous réduisez l’intervalle de mesure, la vitesse moyenne se rapproche-t-elle de la vitesse instantanée ?

À vous d’expérimenter

Un mouvement, deux regards.

x(t) = αt²
01 Le chariot sur son rail droit
Position du chariot sur un rail horizontalÀ 2 s, le chariot se trouve à 4 m de l’origine. Le contour pointillé indique sa position à 3 s : 9 m. Le rail va de 0 à 32 mètres.0 m8 m16 m24 m32 msens +A
02 Sa position au fil du temps
Graphe de la position en fonction du tempsLe temps est horizontal, de 0 à 4 s. La position est verticale, de 0 à 32 m. La tangente en A a pour pente 4 m/s. La sécante entre A et B a pour pente 5 m/s. La courbe décrit des positions au fil du temps, pas la forme du rail.0816243201234Position x (m)Temps t (s)AB
PositionTangente en ASécante A–B

Le chariot va tout droit. Cette courbe représente sa position en fonction du temps, pas sa trajectoire dans l’espace. Les échelles restent fixes quand α change.

Rapprochez B de A.
Que devient la pente de la sécante ?

0,1 s · rapprochés1 s
0 s3 s
0,25 m/s²2 m/s²

1 s d’animation = 1 s du modèle.

Pour garder B dans les 4 s observées, t s’arrête à 4 − Δt. Augmenter Δt peut donc reculer A.

Animation en pause.
Position en A x = αt²
4 m
Vitesse en A v = 2αt
4 m/s
Vitesse moyenne A–B Δx / Δt
5 m/s
Accélération a = 2α
2 m/s²
Lire les valeurs et les hypothèses du modèle

Entre A (2 s ; 4 m) et B (3 s ; 9 m), le chariot avance de 5 m en 1 s. Sa vitesse moyenne est donc 5 m/s. Elle dépasse ici la vitesse en A de αΔt = 1 m/s.

Positions et vitesses pour α = 1 m/s²
Temps (s)Position (m)Vitesse (m/s)
000
112
244
396
4168

Modèle supposé : mouvement rectiligne, origine et horloge fixes, x(0) = 0 et v(0) = 0, accélération constante a = 2α. Les positions sont calculées exactement par la formule, sans bruit de mesure. L’animation illustre les conséquences de ce modèle ; elle ne le prouve pas et n’explique pas les forces.

Cas du cours : α = 1 m/s², t = 2 s, Δt = 1 s. On obtient x = 4 m, v = 4 m/s, v moyenne = 5 m/s et a = 2 m/s².

03 / FAIRE LE POINT

À vous de jouer

Trois questions pour réutiliser ce que vous venez de comprendre. Le raisonnement compte autant que le résultat.

À vous de raisonner · 3 exercices

Essayez sans relire la leçon. Un indice puis une méthode sont disponibles avant le corrigé.

1. Transférer à un nouveau mouvement

Un autre chariot suit y(t) = 8 m − (2 m/s)t. À t = 1 s, quel est le signe de sa position et de sa vitesse ?
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