Les repères mathématiques · Learning Physics

Ces rappels accompagnent votre première leçon. Vous pouvez les lire à la suite ou revenir seulement sur l’outil qui vous manque.

Les unités

Une mesure associe un nombre à une unité. « 4 mètres » donne une position ; « 4 mètres par seconde » décrit une variation de position par unité de temps. Ces deux grandeurs ne sont pas interchangeables.

Grandeur	Symbole utilisé ici	Unité SI
Position	$x$	mètre (m)
Durée	$t$	seconde (s)
Vitesse	$v$	mètre par seconde (m/s)
Accélération	$a$	mètre par seconde carrée (m/s²)

Pour additionner deux termes, leurs dimensions doivent être les mêmes. Dans $x(t)=\alpha t^2$ , $t^2$ a pour unité s². Pour que $x$ soit une longueur, $\alpha$ doit donc avoir pour unité m/s².

Essayez : est-ce que $x(t)=x_0+vt$ est cohérent si $x_0$ est en mètres, $v$ en m/s et $t$ en secondes ?

Vérifier le raisonnement

Oui : $vt$ est en $(\mathrm{m/s})\times\mathrm{s}=\mathrm m$ . On additionne donc deux longueurs. Ce contrôle est nécessaire, mais ne prouve pas que cette équation décrit le mouvement observé : il faut encore tester le modèle.

Lire une pente

Une droite sur un graphique décrit un rapport entre deux variations :

\text{pente}=\frac{\text{variation verticale}}{\text{variation horizontale}}.

Sur un graphique position-temps, l’axe vertical porte des mètres et l’axe horizontal des secondes. La pente est donc une vitesse en m/s.

Position (m)
  6 |             ● B
    |           / │
    |         /   │ +4 m
  2 |     ● A─────┘
    |       +2 s
  0 +──────────────── Temps (s)
          1       3

Entre A et B, la position varie de $6-2=4$ m et le temps de $3-1=2$ s. La pente vaut donc $4/2=2$ m/s. Changer la taille du dessin ne change pas cette valeur : elle dépend des coordonnées et des unités, pas de l’angle à l’écran.

Sur une courbe, la droite reliant deux points donne une pente moyenne. La tangente décrit la direction locale de la courbe ; sa pente donne la dérivée.

Essayez : la courbe descend quand le temps augmente. Quel est le signe de la vitesse ?

Vérifier le raisonnement

La variation de position est négative alors que la durée est positive. La vitesse est donc négative : le mouvement se fait vers les coordonnées décroissantes.

Développer un carré

Un carré représente une multiplication par soi-même. Pour une somme :

(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2.

Imaginez un carré de côté $a+b$ , avec $a,b>0$ . Découpez chaque côté en deux segments de longueurs $a$ et $b$ : vous obtenez un carré d’aire $a^2$ , un carré d’aire $b^2$ et deux rectangles d’aire $ab$ chacun. C’est le sens géométrique du terme $2ab$ . L’identité algébrique reste vraie pour des réels négatifs.

Dans la leçon de mouvement :

(t+\Delta t)^2-t^2=2t\Delta t+(\Delta t)^2.

Pour $\Delta t\ne0$ , on peut ensuite diviser par $\Delta t$ :

\frac{(t+\Delta t)^2-t^2}{\Delta t}=2t+\Delta t.

Essayez : prendre $t=2$ et $\Delta t=0,1$ dans les deux expressions.

Voir le calcul

$((2,1)^2-2^2)/0,1=(4,41-4)/0,1=4,1$ . De l’autre côté, $2\times2+0,1=4,1$ . Les deux méthodes concordent.

Retrouver ces outils en physique

Reprenez la leçon « Position et vitesse » : chaque outil ci-dessus y relie une opération mathématique à une interprétation du mouvement. Ces rappels et exemples sont originaux. Pour prolonger le lien entre calcul et physique : MIT — Classical Mechanics.