Comprendre l'accélération · Learning Physics

Un chariot se déplace déjà quand on commence à l’observer. Sa vitesse augmente de la même quantité chaque seconde. Que peut-on prévoir de sa position ? Nous allons passer d’une courbe vitesse-temps au mouvement, puis utiliser le même raisonnement pour un freinage. Prévoyez 20 minutes de lecture et environ 40 minutes de dessins et de calculs.

1. Qu’est-ce qui change chaque seconde ?

Nous choisissons un rail droit, le sens positif vers la droite et une horloge liée au sol. Le tableau décrit un modèle, pas des données expérimentales :

Temps $t$ (s)	0	1	2	3	4
Vitesse $v$ (m/s)	2	4	6	8	10

Avant de lire la suite : de combien change la vitesse pendant chaque seconde ? Le chariot parcourt-il la même distance au cours de ces secondes ?

La vitesse gagne 2 m/s chaque seconde. La variation de vitesse par unité de temps est l’accélération. On définit l’accélération moyenne entre $t_1$ et $t_2$ par :

a_{\mathrm{moy}}=\frac{v(t_2)-v(t_1)}{t_2-t_1}.

Entre 1 s et 3 s, elle vaut $(8-4)/(3-1)=2\,\mathrm{m/s^2}$ . L’unité m/s² se lit « mètres par seconde carrée » : elle exprime un changement de vitesse en m/s par seconde, pas une distance parcourue par seconde. Cette définition est introduite dans le cours MIT OCW sur l’accélération.

2. Voir la pente et l’aire

Graphe vitesse-temps : la droite part de 2 mètres par seconde à zéro seconde et atteint 10 mètres par seconde à 4 secondes. Entre zéro et trois secondes, l'aire sous la droite se décompose en un rectangle de 6 mètres et un triangle de 9 mètres, soit un déplacement de 15 mètres.

La pente de la droite vaut 2 m/s². Comparez avec la leçon précédente : la pente de position-temps donnait une vitesse ; la pente de vitesse-temps donne une accélération. Les noms et unités des axes sont indispensables.

Dans ce modèle à accélération constante $a$ , la vitesse est :

v(t)=v_0+at,\qquad v_0=2\,\mathrm{m/s},\quad a=2\,\mathrm{m/s^2}.

$t$ est le temps écoulé depuis le départ de l’horloge ; $v_0$ la vitesse à $t=0$ . À $t=3$ s, le gain de vitesse $at$ vaut 6 m/s ; la vitesse totale vaut 8 m/s. Oublier $v_0$ effacerait le mouvement déjà présent à l’instant initial.

3. Retrouver le déplacement

Une vitesse constante multipliée par une durée donne un déplacement. Sur un graphe vitesse-temps, cela correspond à l’aire d’un rectangle. Quand la vitesse varie, on peut découper la durée en courts intervalles, additionner les petits rectangles, puis affiner le découpage : on obtient l’aire signée sous la courbe.

Pour notre droite, cette aire est exactement celle d’un rectangle et d’un triangle :

\Delta x=v_0t+\frac12(at)t=v_0t+\frac12at^2.

À 3 s, le rectangle donne $(2\,\mathrm{m/s})(3\,\mathrm s)=6$ m et le triangle $\tfrac12(6\,\mathrm{m/s})(3\,\mathrm s)=9$ m. Le déplacement vaut 15 m. Les valeurs initiales complètent le modèle :

x(t)=x_0+v_0t+\frac12at^2.

Si $x_0=1$ m, la position finale est 16 m. Si $x_0=0$ , elle est 15 m. Le déplacement est le même : position et déplacement ne sont pas interchangeables. Ces relations supposent $a$ constant sur tout l’intervalle étudié.

Approfondir : dérivée, intégrale et lien avec le laboratoire

Pour une vitesse dérivable, l’accélération instantanée est :

a(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t} =\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}.

La limite décrit le modèle lisse ; des mesures bruitées ne permettent pas de réduire indéfiniment l’intervalle sans précaution. La relation inverse est $x(t)-x_0=\int_0^t v(\tau)\,d\tau$ , où $\tau$ est une variable d’intégration ayant l’unité seconde. Avec $v(\tau)=v_0+a\tau$ , on retrouve l’aire du trapèze.

Dans le laboratoire, le modèle est $x(t)=\alpha t^2$ : $x_0=v_0=0$ et $a=2\alpha$ . Le coefficient $\alpha$ n’est donc pas l’accélération. Pour $\alpha=1\,\mathrm{m/s^2}$ , le chariot gagne 2 m/s chaque seconde. Vérifiez la prédiction à deux instants du laboratoire.

4. Accélération négative : ralentir ou aller plus vite ?

Une voiture avance dans le sens positif avec $v_0=10$ m/s. Supposons un freinage rectiligne uniforme avec $a=-2$ m/s². Alors $v(t)=10-2t$ en unités SI. Elle atteint $v=0$ après $t_{\text{arrêt}}=5$ s. Pendant ce freinage :

\Delta x=(10\,\mathrm{m/s})(5\,\mathrm s) +\frac12(-2\,\mathrm{m/s^2})(5\,\mathrm s)^2=25\,\mathrm m.

À 6 s, prolonger la formule donnerait $v=-2$ m/s : la voiture repartirait vers l’arrière. Ce n’est pas ce que signifie « freiner jusqu’à l’arrêt ». Le modèle de freinage s’arrête ici à 5 s ; ensuite il faut préciser un nouveau comportement. Le temps de réaction avant freinage n’est pas inclus.

Inversement, si un mobile a $v=-3$ m/s et $a=-2$ m/s² pendant une seconde, sa vitesse devient $-5$ m/s : il va plus vite vers la gauche. Pour un mouvement rectiligne, quand vitesse et accélération ont le même signe, la rapidité augmente ; quand leurs signes sont opposés, elle diminue tant que la vitesse ne s’annule pas.

5. Tourner, c’est aussi accélérer

Un mobile suit maintenant une courbe à rapidité constante de 2 m/s. À un instant, son vecteur vitesse pointe vers l’est : $(2,0)$ m/s. Deux secondes plus tard, il pointe vers le nord : $(0,2)$ m/s. La variation est $(-2,2)$ m/s, donc l’accélération moyenne est $(-1,1)$ m/s², non nulle.

La longueur du vecteur vitesse n’a pas changé, mais sa direction a changé. Dessinez les deux flèches depuis une même origine, puis la flèche qui va de l’extrémité de la première à celle de la seconde : c’est la variation de vitesse. Ce dessin représente l’espace des vitesses, avec l’unité m/s ; ce n’est pas la trajectoire du mobile.

Nos calculs décrivent la cinématique, sans déterminer les forces responsables. Nous supposons un référentiel fixé au sol, un mobile assimilé à un point et les vitesses ordinaires de la mécanique classique. Une accélération constante illimitée n’est pas une description universelle des mouvements réels.

6. Exercices

Une vitesse vaut constamment $-4$ m/s. Quelle est l’accélération ? Le mobile est-il immobile ?
Un chariot part du repos avec $a=1{,}5$ m/s² constant. Trouvez sa vitesse et son déplacement après 4 s.
Une trottinette roule à 6 m/s. Après 1 s de réaction à vitesse inchangée, elle freine à $-3$ m/s² jusqu’à l’arrêt. Trouvez la distance totale.
Dans le laboratoire $x=\alpha t^2$ , une personne affirme que doubler $\alpha$ double la vitesse mais ne change pas l’accélération. A-t-elle raison ?

Un coup de pouce : les indices

Quelle variation de vitesse mesure-t-on entre deux instants ?
Distinguez $at$ et $\tfrac12at^2$ .
Faites deux étapes : réaction uniforme, puis freinage. Cherchez d’abord la durée du freinage avec $v=0$ .
Dérivez une fois pour la vitesse, deux fois pour l’accélération.

Voir les corrigés expliqués

$a=0$ : vitesse constante. Le mobile se déplace de 4 m par seconde vers les coordonnées décroissantes. Accélération nulle ne veut pas dire vitesse nulle.
$v=1{,}5\times4=6$ m/s et $\Delta x=\tfrac12\times1{,}5\times4^2=12$ m. La vitesse moyenne est 3 m/s, cohérente avec 12 m parcourus en 4 s.
La réaction ajoute $6\times1=6$ m. Le freinage dure $6/3=2$ s et ajoute $6\times2-\tfrac12\times3\times2^2=6$ m. Au total : 12 m, dans ce modèle simplifié. Ce calcul n’est pas une distance de sécurité universelle.
Non. $v=2\alpha t$ et $a=2\alpha$ : à instant fixé, doubler $\alpha$ double les deux. Leurs unités sont différentes malgré cette dépendance commune.

7. Votre premier bilan physique

Dans votre carnet, expliquez un freinage avec un axe orienté, un graphe vitesse-temps, un calcul de distance et une limite du modèle. Une semaine plus tard, justifiez sans regarder le corrigé pourquoi une accélération négative peut augmenter la rapidité.

Les modèles d’exemple, la figure et les exercices sont originaux. Pour prolonger l’étude : MIT OCW, semaine de cinématique. Liens consultés le 18 septembre 2026 ; relecture scientifique indépendante à réaliser.